Recuerdo y semblanza de un coloso de nuestro tiempo: Gottlob Frege

Gottlob Frege

Nuestro tiempo, tiranizado por la huida de la razón y el dominio disolvente del pensamiento débil, está bien ayuno de un discurso lógico capaz de legitimar la sinrazón discursiva dominante. En este breve artículo revisaremos la figura del matemático y lógico Gottlob Frege (1848-1925), una de las tres grandes mentes filosóficas del siglo XIX, a cuya obra y pensamiento es necesario volver una y otra vez. Máxime en esta época nuestra de oscuridades mentales, en la que los dogmatismos del discurso woke terminaron por arrasarlo casi todo.

Gottlob Frege irrumpe en un contexto histórico muy complejo: la Prusia de Bismarck. Tras las crisis internas de un sistema político en decadencia, la figura de Frege aparece ante sus coetáneos como un hito más bien anodino, incluso insignificante. Sin embargo, aquel hombre angustiado por problemas insondables iba a desarrollar bajo su cráneo uno de los más prominentes y asombrosos inventos de la modernidad: la creación de la lógica moderna.

El proyecto matriz de Frege partía del problema de la búsqueda de un lenguaje universal, un asunto recurrente en la historia moderna de Occidente, sobre el que se han escrito páginas imperecederas. Sin ir más lejos, ya Descartes propuso la creación de dos lenguajes universales, a saber: uno, de carácter práctico, destinado para el uso de la población en general; y otro, de carácter filosófico, propuesto para los iniciados, no en un sentido hermético ni gnóstico, sino esencialmente metafísico.

Tras esta tentativa, será el gran Leibniz quien pueda ofrecer una propuesta más sólida en lo que a la creación de un lenguaje universal se refiere; para ello, partirá de la diferenciación entre las ideas simples, de una parte, y las compuestas, de la otra, estableciendo por analogía una relación de las primeras con los números primos, de manera que, así como los números naturales son producto de los números primos, las ideas compuestas son el resultado de las ideas simples. Al proponer esto, asignaba a las ideas simples su correlativo número primo, de modo que se podrían descomponer las ideas compuestas a partir de la descomposición en factores primos del número que les fuera asignado. Desde el siglo XVII, la elaboración de nuevos códigos lingüísticos con afán de universalidad ha sido constante entre los filósofos y los matemáticos.

Pero volvamos a Frege. La aparición de su obra capital, Ideografía, en 1879, marcará un antes y un después en la historia de la lógica. Curiosamente, esta obra se anticipa a la aparición de dos de las lenguas universales más conseguidas (en cuanto mejor vertebradas), el volapük y, sobre todo, el esperanto, luego perfeccionado en el ido. Aunque los presupuestos de sendas lenguas artificiales apuntan hacia la universalidad, léase la comprensión y/o aprehensión por parte de una hipotética “comunidad global” (algo que la Cristiandad ya afianzó por medio del latín, todo sea dicho), será Frege en su trabajo de lógica matemática quien llegue más lejos en su captación del problema esencial: esto es, desatar el pensamiento de las limitaciones propias del lenguaje ordinario, tan confuso.

Notación tabular que Frege usó en su Ideografía (1874), comparada con la notación abreviada usada en la actualidad

La idea vehicular de Frege se basó en plantear una lógica de la que se podría deducir la aritmética, y no al contrario, como se solía hacer hasta entonces. Su lógica, por ende, ofrece un primer análisis veritativo funcional de los cuatro conectores lógicos (“y”, “o”, “no”, “si… entonces”), eligiendo como primitivos a los dos últimos conectores, en tanto de ellos se pueden deducir los demás; para tal fin, Frege elaboró un cálculo deductivo que permitía analizar la estructura lógica de los enunciados compuestos, simplificados a los símbolos representativos de las variables y sus conectores.

Giuseppe Peano

Este lenguaje formal no tenía para nuestro autor la pretensión de sustituir ni mucho menos al lenguaje ordinario, como sí aspiraba el esperanto, sino hacer las veces de microscopio/herramienta del que se vale el ojo/mano. La ideografía de Frege aspiraba por tanto a representar directamente los “contenidos del pensamiento”, en especial el matemático.

Tiempo después, el lógico italiano Giuseppe Peano modificaría la simbología de Frege por una más operativa y todavía hoy vigente. En cualquier caso, lo importante de todo esto es que la lógica de Frege ofrece el primer cálculo deductivo correcto y completo de la lógica de primer orden, que es aquella cuyos argumentos son objetos, frente a la lógica de segundo orden, en la que sus argumentos son predicados de primer orden. Asimismo, el cálculo deductivo de Frege es axiomático, y tiene nueve axiomas, introduciendo tres reglas de inferencia.

Este plan matemático no pretendía sino elaborar una lógica de la que deducir la aritmética; por ello, se necesitaba saber qué eran los números naturales. Frege constató que los enunciados numéricos dicen algo acerca de los conceptos, mas no de los objetos. Esta dilucidación del concepto de número pasaba por una primera fase donde se definía el concepto de número cardinal, para luego precisar el de número natural o finito, haciendo uso para ello de las relaciones de equivalencia entre un dominio previamente dado de elementos. Y es que la lógica formal de Frege respondía a la necesidad de demostrar su tesis logicista de reducción aritmética a la lógica, que partía de la definición kantiana de los enunciados analíticos como aquellos que su predicado está contenido en el sujeto. Para Frege, un enunciado es analítico si puede ser aprobado o deducido a partir sólo de leyes lógicas y definiciones; en caso contrario, se trataría de un enunciado sintético. Frege, como vemos, toma aspectos de Leibniz y también de Kant, pero no es epígono de estos autores. La tesis/conclusión de Frege es que los teoremas aritméticos son enunciados analíticos. Luego, como es bien sabido, llegaría Russell y localizaría una contradicción en su tesis logicista concerniente a la noción de “extensión de un concepto”, lo que supuso que el anciano rectificara su tesis.

Notación de Gottlob Frege para lógica de primer orden (1879)
David Hilbert

Pero las conquistas de Frege no terminan aquí: se le deben las distinciones semánticas que planteó entre sentido y referencia, entre signo y significado, entre categoría o propiedad; estas distinciones serán cruciales en el desarrollo de la filosofía del lenguaje.

También ofrece amplio interés la polémica entre Frege y David Hilbert en torno al método axiomático del primero, para quien todas las proposiciones y teoremas pueden ser explicados a partir de los axiomas prefijados, mediante la intervención de las reglas de inferencia. Este método axiomático queda enmarcado en el método tradicional canónico, que consideraba a la geometría de Euclides como la única verdadera, frente a las restantes, fallidas o no verdaderas. Este dogmatismo provenía sin duda de la concepción kantiana de la geometría dominante otrora. Mas Hilbert propuso que en la matemática cabían distintas geometrías, y todas eran además válidas, aunque incompatibles entre sí, de modo que cada teoría podía ser aplicada a una infinidad de sistemas de elementos básicos. Esto supuso una novedad cierta, y Frege, contrariado, la criticó. Tiempo después, el polémico Albert Einstein constataría con respecto a la luz lo que Hilbert defendía, desechando en el espacio físico la geometría euclídea, que para muchos no se cumple en éste.

La vida solitaria de Frege, de la que tanto podemos aprender, fue prosaica y llena de amarga melancolía. Vivió incomprendido, cierto, pues era un genio auténtico, y como tal, el reconocimiento le llegó demasiado tarde. Nos quedan, a modo de epitafio, las palabras de Wittgenstein: “Frege no hablaba nunca más que de lógica y matemáticas. Si yo empezaba a hablar de otro tema, me cortaba con una frase cortés y en seguida volvía a llevar la conversación a la lógica y las matemáticas”.

Desde aquí, afirmar nuestro recuerdo y agradecimiento al trabajo de este gran hombre.


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